Cálculo del volumen con la integral doble

En el post del otro día, en la zona de comentarios, elkarmaexiste me planteaba una pregunta.

Como lo leo todo deprisa y corriendo entendí que se quería conseguir una aproximación a pi por el método de montecarlo.
Hoy he vuelto a leer la pregunta y creo que me pedían hacer el programa para el cálculo del volúmen.
En cualquier caso es muy interesante conocer ese volumen que hay entre la superficie y el plano z=0 que es lo que voy a explicar hoy:
La primera función que planteaban era: f(x,y) = x^2 + y^2
Lo primero que da al ojo es que se parece mucho a la ecuación de una esfera.
Mirando en el mejor libro de cálculo del mundo, el de N.Piskunov, me entero que la figura que representa se llama paraboloide de revolución. Es lógico porque es una parábola puesta boca abajo y a la que le das vueltas.
Ayer descubrí que en Mac OSX viene una utilidad para dibujar gráficos llamada Grapher. Este sería el paraboloide de revolución dibujado por Grapher:

La intuición:

Según leí el comentario yo pensaba que lo que querían era sacar la fórmula del volumen que queda entre el plano z=0 y la superficie de la función.
Pensaba incorrectamente que la fórmula del volumen ese tendría por medio el número pi ya que por la ecuación se parece a la esfera.
Aquí el resultado:
En el mismo libro de Piskunov leo, a la vez que intento recordar, que el volúmen entre el plano z=0 y la función se calcula con una integral doble.
Aquí hay una explicación gráfica en vivo con el que se entiende perfectamente el cálculo del volumen por medio de la integral doble.

La persona que me hacía la consulta ya me indicaba los límites: para x e y entre 0 y 1.
La integral doble se resuelve por medio de dos integrales:
1.-Primero integro cogiendo como variable «X» y tratando «Y» como si fuera una constante.
2.-Luego integramos cogiendo como variable «Y» y tratando «X» como si fuera constante.
Estas son integrales definidas. El área de integración está delimitado entre valores X0 e X1 por ejemplo.
Si la función integrada es F(X) tenemos que hacer F(x1) – F(x0).

Siguiente paso:
Creo que realmente me pedían hacer un programa en FORTRAN que cogiendo 10, 100, 1000, 10000, 100000 puntos calcule de forma aproximada el volumen.
Hoy no voy a poder y mañana quien sabe. Eso sí, en el siguiente post espero publicar el programa.
Saludos.

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada.